Henri poincaré - La Science et l’Hypothèse : résumé

D'où vient la certitude de la Science? Est-elle vraiment certaine?
Comment sont les théories construites?
Quelle rôle a l'hypothèse et en quoi on s'en servit?
Depuis l'arithmétique et la géométrie jusqu'à la mécanique et la physique expérimentale, Poincaré a répondu aux questions.
Découvrons-nous alors ces réponses.
Le résumé du livre dans Le fichier pdf (22 pages).

PREMIÈRE PARTIE : LE NOMBRE ET LA GRANDEUR 

CHAPITRE I 

SUR LA NATURE DU RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE

Les mathématiques (l’arithmétique) sont construites par récurrence : la démonstration que « si une proposition est vraie pour n alors elle l’est pour n+1 » et la vérification pour n=0. Comme ça, puisque il est vrai pour 0 alors il l’est pour 1, alors pour 2, et ainsi de suite pour tout n nombre naturelle.  Comme ça on peut démontrer des propositions de type 5+4=9 ou 5*5=25… après avoir défini l’opérateur. Ce raisonnement se base sur l’ordre : le concept des nombres.

L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même.

Les mathématiciens procèdent donc « par construction » : l’analyse des combinaisons et des ensembles, ainsi ils aperçoivent les rapports de ces éléments et en déduisent les rapports des ensembles eux-mêmes. Cette induction n’est possible que si une même opération peut se répéter indéfiniment, ce qui n’est pas toujours vrai dans la physique.

CHAPITRE II 

LA GRANDEUR MATHÉMATIQUE ET L’EXPÉRIENCE. 

Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets ; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d’autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse.

Dans le continu mathématique formé par une infinité des nombres incommensurables (des nombres irrationnels et des fractions), l’unité est disparue dans la multiplicité. Il n’est qu’une pure création de l’esprit, mais que c’est l’expérience qui lui en a fourni l’occasion. Parce que dans la réalité, l’infinitésimale est négligeable et c’est la nécessité qui a contraints à inventer le continu mathématique : A = B, B = C, A < C, où B (resp. C) est plus grand que A (resp. B) infinitésimalement mais la différence entre A et C est assez grand pour être considérable. L’ensemble de ces infinitésimales est ce qui constitue le continu.

L’esprit a la faculté de créer des symboles, et c’est ainsi qu’il a construit le continu mathématique, qui n’est qu’un système particulier de symboles. Sa puissance n’est limitée que par la nécessité d’éviter toute contradiction ; mais l’esprit n’en use que si l’expérience lui en fournit une raison.

La dimension d’un continu dépend de la nature des coupures par lesquelles on peut le subdiviser : Si on peut subdiviser un continu physique C par une coupure se réduisant à un nombre fini d’éléments tous discernables les uns des autres, nous dirons que C est un continu à une dimension. Si au contraire C ne peut être subdivisé que par des coupures qui soient elles-mêmes des continus, nous dirons que C a plusieurs dimensions. S’il suffit de coupures qui soient des continus à une dimension, nous dirons que C a deux dimensions, s’il suffit de coupures à deux dimensions, nous dirons que C a trois dimensions, et ainsi de suite. C’est quand on a voulu introduire la mesure dans le continu que nous venons de définir que ce continu est devenu l’espace et que la géométrie est née.

DEUXIÈME PARTIE : L’ESPACE

CHAPITRE III 

LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES.

Toute science déductive, et en particulier la géométrie, est basée sur des axiomes indémontrables, à partir de lesquelles on déduit d’autres propriétés. Les géométries non-euclidiennes (celles de Riemann et de Lobatchevsky) sont aussi logiques et cohérentes que la géométrie ordinaire d’Euclide.

Stuart Mill a prétendu que toute définition contient un axiome, puisqu’en définissant on affirme implicitement l’existence de l’objet défini ; ce qui est juste pour quelques définitions. Un être mathématique existe, pourvu que sa définition n’implique pas contradiction, soit en elle-même, soit avec les propositions antérieurement admises. Une définition ou un axiome n’est pas forcément une vérité évidente par elle-même comme le serait un jugement analytique à priori.

Quelle géométrie décrit notre monde alors ? Est-ce que par l’expérience qu’on va vérifier les axiomes ? Comment expérimenter des conceptions idéales (droite, etc.) ? Est-ce que la géométrie est une science expérimentale (non exacte alors) ?

Les axiomes géométriques ne sont ni des jugements esthétiques a priori, ni des faits expérimentaux. Ce sont des conventions... Un choix guidé par des expériences, mais libre et n’est limité que par la nécessité d’éviter toute contradiction ; quand même les lois expérimentales qui ont déterminé leur adoption ne sont qu’approximatives.

Ainsi, la question : « La géométrie euclidienne est-elle vraie ? » n’a aucun sens. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode (pratique) et la géométrie euclidienne est la plus commode en fait (dû à notre intuition qui en est proche et la simplicité de ses équations de 1^er degré).

CHAPITRE IV 

L’ESPACE ET LA GÉOMÉTRIE. 

On voit que l’expérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d’en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie. Si elle était expérimentale, elle ne serait qu’approximative et provisoire. L’expérience nous guide dans ce choix qu’elle ne nous impose pas ; elle nous fait reconnaître non quelle est la géométrie la plus vraie, mais quelle est la plus commode.

Au titre de comparaison entre l’espace géométrique et l’espace représentatif. D’abord on liste des propriétés de l’espace géométrique : continu, infini, tridimensionnel, homogène, et isotrope.

L’espace visuel complet a 3 ou 4 dimensions : une image bidimensionnelle qui n’est pas homogène ; la distance est révélée de deux manières différentes : par l’effort d’accommodation et par la convergence des yeux. La troisième dimension ne jouant pas le même rôle que les deux autres. Ce qui fait que l’espace visuel complet n’est donc pas un espace isotrope. De même, l’espace moteur (qui accompagne tous nos mouvements) aurait autant de dimensions que nous avons de muscles.

Ainsi l’espace représentatif, sous sa triple forme, visuelle, tactile et motrice, est essentiellement différent de l’espace géométrique. Il n’est ni homogène, ni isotrope ; on ne peut même pas dire qu’il ait trois dimensions. L’espace représentatif n’est qu’une image de l’espace géométrique, image déformée par une sorte de perspective. Nous ne nous représentons donc pas les corps extérieurs dans l’espace géométrique, mais nous raisonnons sur ces corps, comme s’ils étaient situés dans l’espace géométrique.

Aucune de nos sensations, isolée, n’aurait pu nous conduire à l’idée de l’espace, nous y sommes amenés seulement en étudiant les lois suivant lesquelles ces sensations se succèdent, par une modification dans un ensemble d’impressions sur la position et l’état des objets : corriger par ses mouvements des effets des changements de position des objets extérieurs (déplacement corrélatif de notre corps jusqu’à atteindre la position relative primitive) et les distinguer des changements d’état (les déformations, etc.). Nous distinguons ainsi les « déformations » des autres changements d’état ; dans ces déformations chaque élément (vu comme un solide indéformable) subit un simple changement de position, qui peut être corrigé et connu alors ; si l’observation des corps solides ne nous avait appris déjà à distinguer les changements de position, ou s’il n’y avait pas de corps solides dans la nature, il n’y aurait pas de géométrie (notre géométrie). Ni pouvons nous savoir le changement de position si on n’avait pas des muscles capables de nous déplacer pour corriger ces changements de position.

En résumé : 1° Nous sommes amenés d’abord à distinguer deux catégories de phénomènes : Les uns, involontaires, non accompagnés de sensations musculaires, sont attribués par nous aux objets extérieurs ; ce sont les changements externes. Les autres, dont les caractères sont opposés et que nous attribuons aux mouvements de notre propre corps, sont les changements internes. 2° Nous remarquons que certains changements de chacune de ces catégories peuvent être corrigés par un changement corrélatif de l’autre catégorie. 3° Nous distinguons, parmi les changements externes, ceux qui ont ainsi un corrélatif dans l’autre catégorie, c’est ce que nous appelons les déplacements ; et de même parmi les changements internes, nous distinguons ceux qui ont un corrélatif dans la première catégorie. Ainsi se trouve définie, grâce à cette réciprocité, une classe particulière de phénomènes que nous appelons déplacements. Ce sont les lois de ces phénomènes qui font l’objet de la géométrie.

C’est grâce aux lois d’homogénéité et d’isotropie que la répétition d’une même expérience peut se faire indéfiniment, ce qui donne la validité au raisonnement mathématique (récurrence).

En fait, la connaissance de changement de position et les mouvements corrélatifs corrigeant, dans un monde ayant n’importe quelle loi physique de mouvement, est ce qui permet de construire une conception de géométrie ; soit qu’elle est euclidienne ou non euclidienne, dans ce dernier cas les déplacements peuvent être non euclidiennes. L’exemple qu’a donné Poincaré est celle d’un monde renfermé dans une grande sphère et soumis aux lois suivantes : « La température n’y est pas uniforme; elle est maxima au centre, et elle diminue à mesure qu’on s’en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé ; lorsqu’un objet se déplace, en se déformant, non comme un solide invariable, mais comme un solide éprouvant des dilatations inégales. Si un être sentant se trouve dans le voisinage, ses impressions seront modifiées par le déplacement de l’objet, mais il pourra les rétablir en se mouvant lui-même d’une manière convenable, il suffit que finalement l’ensemble de l’objet et de l’être sentant, considéré comme formant un seul corps, ait éprouvé un de ces déplacements particuliers. »

Ces êtres imaginaires seront donc comme nous conduits à classer les phénomènes dont ils seront témoins et à distinguer parmi eux, les « changements de position » susceptibles d’être corrigés par un mouvement volontaire corrélatif. S’ils fondent une géométrie, ce ne sera pas comme la nôtre, ce sera celle des changements de position qu’ils auront ainsi distingués, et ce sera une géométrie non Euclidienne.

La géométrie ne serait que l’étude des mouvements des solides ; mais elle ne s’occupe pas en réalité des solides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n’en sont qu’une image simplifiée et bien lointaine. La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit et l’expérience n’est qu’une occasion qui nous engage à l’en faire sortir. Ce qui est l’objet de la géométrie, c’est l’étude d’un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s’impose à nous, non comme forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

CHAPITRE V 

L’EXPÉRIENCE ET LA GÉOMÉTRIE

Peut-on soutenir que certains phénomènes, possibles dans l’espace euclidien, seraient impossibles dans l’espace non euclidien, de sorte que l’expérience contredirait directement l’hypothèse non euclidienne ?

Il est impossible d’imaginer une expérience concrète qui puisse être interprétée dans le système euclidien et qui ne puisse pas l’être dans le système lobatchevskien, de sorte que je puis conclure : Aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum d’Euclide (par un point ne passe qu’une unique droite parallèle à une droite donnée), ni avec le postulatum de Lobatchevsky (par un point extérieur à une droite passe plus d’une droite parallèle). L’expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky. En résumé, il est impossible de découvrir à l’empirisme géométrique un sens raisonnable.

Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d’elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l’espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l’espace. Sans faire aucune hypothèse sur la forme, sur la nature de l’espace, sur les rapports des corps avec l’espace, sans attribuer aux corps aucune propriété géométrique, on peut faire des constatations qui  permettent de montrer dans un cas que les corps expérimentés se meuvent suivant un groupe dont la structure est euclidienne, dans l’autre cas qu’ils se meuvent suivant un groupe dont la structure est lobatchevskienne. Il faut donc conclure que l’espace est à la fois euclidien et non euclidien. Les expériences ont donc porté, non sur l’espace, mais sur les corps (la matière).

Par sélection naturelle notre esprit s’est adapté aux conditions du monde extérieur, qu’il a adopté la géométrie la plus avantageuse à l’espèce ; ou en d’autres termes la plus commode. Cela est tout à fait conforme à nos conclusions, la géométrie n’est pas vraie, elle est avantageuse.

On pourrait conclure que c’est l’expérience ancestrale qui nous a appris combien l’espace a de dimensions. Mais en réalité ici encore nos expériences ont porté, non sur l’espace, mais sur notre corps et ses rapports avec les objets voisins.

TROISIÈME PARTIE : LA FORCE

CHAPITRE VI 

LA MÉCANIQUE CLASSIQUE.

Les traités de mécanique ne distinguent pas bien nettement ce qui est expérience, ce qui est raisonnement mathématique, ce qui est convention, ce qui est hypothèse. Ainsi l’espace absolu, le temps absolu, la géométrie même ne sont pas des conditions qui s’imposent à la mécanique, mais une sorte de convention de langage.

Une loi expérimentale est toujours soumise à la révision ; on doit toujours s’attendre à la voir remplacée par une autre loi plus précise. Or la loi d’inertie, vérifiée expérimentalement dans quelques cas particuliers, peut être étendue sans crainte aux cas les plus généraux, parce que nous savons que dans ces cas généraux l’expérience ne peut plus ni la confirmer, ni la contredire, puisque des paramètres ou bien des objets inconnus peuvent en influencer : La loi se trouvera sauvegardée alors.

Les lois de la dynamique (celles de Newton et de Kepler) ne sont que des définitions de force, accélération, etc. et on ne peut rien conclure de leur vérité par expérience ; ne sont-elles donc que des conventions arbitraires ? Conventions, oui ; arbitraires, non ; elles le seraient si on perdait de vue les expériences qui ont conduit les fondateurs de la science à les adopter, et qui, si imparfaites qu’elles soient, suffisent pour les justifier.

CHAPITRE VII 

LE MOUVEMENT RELATIF ET LE MOUVEMENT ABSOLU.

La loi de relativité : Les accélérations des différents corps qui font partie d’un système isolé ne dépendent que de leurs vitesses et de leurs positions relatives, et non de leurs vitesses et de leurs positions absolues, pourvu que les axes mobiles auxquels le mouvement relatif est rapporté soient entraînés dans un mouvement rectiligne et uniforme. En effet, le principe du mouvement relatif ressemble singulièrement à ce qu’on appelle le principe de l’inertie généralisé ; ce n’est pas tout à fait la même chose, puisqu’il s’agit des différences de coordonnées et non des coordonnées elles-mêmes.

De même que Copernic nous a dit : il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu’on exprime ainsi les lois de l’astronomie dans un langage bien plus simple ; on dirait : Il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu’on exprime ainsi les lois de la mécanique dans un langage bien plus simple.

Aux yeux du physicien, le monde se réduit à une série de phénomènes, dépendant uniquement, d’une part, des phénomènes initiaux, d’autre part, des lois qui lient les conséquents aux antécédents. Si alors l’observation nous apprend qu’une certaine quantité est une constante, nous aurons le choix entre deux manières de voir :

Ou bien nous admettrons qu’il y a une loi qui veut que cette quantité ne puisse varier, mais que c’est par hasard qu’elle s’est trouvée avoir, à l’origine des siècles, telle valeur plutôt que telle autre, valeur qu’elle a dû conserver depuis. Cette quantité pourrait alors s’appeler une constante accidentelle.

Ou bien nous admettrons au contraire qu’il y a une loi de la nature qui impose à cette quantité telle valeur et non pas telle autre. Nous aurons alors ce qu’on peut appeler une constante essentielle.

Poincaré a donné des exemples sur des cas où on pose des hypothèses pour que la solution soit plus commode.

CHAPITRE VIII 

ÉNERGIE ET THERMODYNAMIQUE

Le système énergétique (cinématique), remplaçant le système de la mécanique classique (dynamique), se base sur deux formes d’énergie : l’énergie cinétique et l’énergie potentielle, dont la somme est constante d’après le principe de conservation d’énergie ; le 2^ème principe est le principe de Hamilton, qui est une des formes du principe de moindre action.

C’est la nécessité qui nous mène à généraliser dans la science, sinon on n’aura pas des théories, on n’aura que des études expérimentales aux phénomènes isolés l’un de l’autre, qui n’aura aucun intérêt pratique, on ne pourra pas prévoir. Et parmi les possibilités de généralisations, on choisit celles qui sont les plus simples. On ne croit plus que la nature tend vers la simplicité mais que nous cherchons la simplicité qui rend la science possible.

Les principes de la mécanique se présentent donc à nous sous deux aspects différents. D’une part, ce sont des vérités fondées sur l’expérience et vérifiées d’une façon très approchée en ce qui concerne des systèmes presque isolés. D’autre part, ce sont des postulats applicables à l’ensemble de l’univers et regardés comme rigoureusement vrais. Si ces postulats possèdent une généralité et une certitude qui faisaient défaut aux vérités expérimentales d’où ils sont tirés, c’est qu’ils se réduisent en dernière analyse à une simple convention que nous avons le droit de faire, parce que nous sommes certains d’avance qu’aucune expérience ne viendra la contredire. Cette convention n’est pourtant pas absolument arbitraire ; elle ne sort pas de notre caprice ; nous l’adoptons parce que certaines expériences nous ont montré qu’elle serait commode.

Les principes conventionnels et généraux sont la généralisation naturelle et directe des principes expérimentaux et particuliers. D’ailleurs, si on étudie la mécanique, c’est pour l’appliquer ; et on ne peut l’appliquer que si elle reste objective. Or, ce que les principes gagnent en généralité et en certitude, ils le perdent en objectivité.

QUATRIÈME PARTIE : LA NATURE

CHAPITRE IX 

LES HYPOTHÈSES EN PHYSIQUE

L’expérience est la source unique de la vérité : elle seule peut nous apprendre quelque chose de nouveau ; elle seule peut nous donner la certitude. Et pourtant la physique mathématique existe ; elle a rendu des services indéniables ; il ne suffit pas d’observer, il faut se servir de ses observations, et pour cela il faut généraliser.

Chaque siècle se moquait du précédent, l’accusant d’avoir généralisé trop vite et trop naïvement.

Qu’est-ce qu’une bonne expérience ? C’est celle qui nous fait connaître autre chose qu’un fait isolé ; c’est celle qui nous permet de prévoir : dans des circonstances analogues, un fait analogue se produira ; c’est-à-dire celle qui nous permet de généraliser. Car sans généralisation, la prévision est impossible. Mieux vaut prévoir sans certitude que de ne pas prévoir du tout.

« Qu’on me permette de comparer la Science à une bibliothèque qui doit s’accroître sans cesse ; le bibliothécaire ne dispose pour ses achats que de crédits insuffisants ; il doit s’efforcer de ne pas les gaspiller. C’est la physique expérimentale qui est chargée des achats ; elle seule peut donc enrichir la bibliothèque. Quant à la physique mathématique, elle aura pour mission de dresser le catalogue. Si ce catalogue est bien fait, la bibliothèque n’en sera pas plus riche. Mais il pourra aider le lecteur à se servir de ces richesses… Tel est donc le rôle de la physique mathématique ; elle doit guider la généralisation de façon à augmenter le rendement de la science. »

La nature n’est pas simple, elle ne se soucie pas des difficultés analytiques, avait dit Fresnel ; mais il n’est plus commode de la considérer simple et en chercher la simplicité. Le plus souvent, toute loi est réputée simple jusqu’à preuve du contraire. Si nos moyens d’investigation devenaient de plus en plus pénétrants, nous découvririons le simple sous le complexe, puis le complexe sous le simple, puis de nouveau le simple sous le complexe, et ainsi de suite, sans que nous puissions prévoir quel sera le dernier terme. Qu’importe alors que la simplicité soit réelle, ou qu’elle recouvre une vérité complexe ? Qu’elle soit due à la grandeur ou à la petitesse de certaines quantités qui permet de négliger certains termes, dans tous les cas, elle n’est pas due au hasard.

Toute généralisation est une hypothèse ; Seulement elle doit toujours être, le plus tôt possible et le plus souvent possible, soumise à la vérification. Certaines hypothèses peuvent être mauvaises mais elles nous guideront à concevoir nos erreurs, à découvrir l’inconnu. D’autres peuvent être indifférentes : on obtiendra le même résultat si on les suppose ou pas, elles sont par conséquent inutiles et invérifiables. Les hypothèses de la troisième catégorie sont les véritables généralisations : Ce sont elles que l’expérience doit confirmer ou infirmer.

C’est grâce à l’homogénéité approchée de la matière étudiée par les physiciens que la physique mathématique a pu naître. En combinant le semblable au semblable et en utilisant les mêmes opérations, on pourrait faire une induction mathématique qui nous prévient de refaire les calculs un par un.

CHAPITRE X 

LES THÉORIES DE LA PHYSIQUE MODERNE

Le but des théories scientifiques n’est pas le savoir, mais le pouvoir de prédire les phénomènes. La ruine d'une théorie ne vaut pas dire que la science a une crise mais qu’elle évolue à être plus précise ; les vielles théories seront rejetées ou modifiées.

Dans l’histoire du développement de la physique, on distingue deux tendances inverses. D’une part, ou découvre à chaque instant des liens nouveaux entre des objets qui semblaient devoir rester à jamais séparés ; les faits épars cessent d’être étrangers les uns aux autres ; ils tendent à s’ordonner en une imposante synthèse. La science marche vers l’unité et la simplicité. D’autre part, l’observation nous révèle tous les jours des phénomènes nouveaux ; il faut qu’ils attendent longtemps leur place et quelquefois, pour leur en faire une, on doit démolir un coin de l’édifice. Dans les phénomènes connus eux-mêmes, où nos sens grossiers nous montraient l’uniformité, nous apercevons des détails de jour en jour plus variés ; ce que nous croyions simple redevient complexe et la science paraît marcher vers la variété et la complication.

Les phénomènes anciennement connus se classent de mieux en mieux ; mais des phénomènes nouveaux viennent réclamer leur place ; la plupart d’entre eux l’ont trouvée tout de suite.

CHAPITRE XI 

Le calcul des probabilités.

Lorsqu’on fait l’induction, en fait, on calcul des probabilités.

« Nous sommes ignorants et pourtant nous devons agir. Pour agir, nous n’avons pas le temps de nous livrer à une enquête suffisante pour dissiper notre ignorance ; d’ailleurs, une pareille enquête exigerait un temps infini. Nous devons donc nous décider sans savoir ; il faut bien le faire au petit bonheur et suivre des règles sans trop y croire. Ce que je sais, ce n’est pas que telle chose est vraie, mais que le mieux pour moi est encore d’agir comme si elle était vraie ». Le calcul des probabilités, et par conséquent la science, n’aurait plus qu’une valeur pratique.

CLASSIFICATION DES PROBLÈMES DE PROBABILITÉ

Si nous n’étions pas ignorants, il n’y aurait pas de probabilité, il n’y aurait de place que pour la certitude ; mais notre ignorance ne peut être absolue, sans quoi il n’y aurait pas non plus de probabilité, puisqu’il faut encore un peu de lumière pour parvenir même à cette science incertaine. Les problèmes de probabilité peuvent ainsi se classer d’après la profondeur plus ou moins grande de cette ignorance.

Dans les sciences physiques, notre ignorance est déjà plus grande. L’état d’un système, à un instant donné, dépend de deux choses : son état initial et la loi d’après laquelle cet état varie. Si nous connaissions à la fois cette loi et cet état initial, nous n’aurions plus qu’un problème mathématique à résoudre et nous retomberions sur le premier degré d’ignorance.

Mais il arrive souvent qu’on connaisse la loi et qu’on ne connaisse pas l’état initial. Seul, le calcul des probabilités permet de prévoir les phénomènes moyens. C’est là le second degré d’ignorance.

Il est possible, enfin, que non seulement les conditions initiales, mais les lois elles-mêmes, soient inconnues ; on atteint alors le troisième degré de l’ignorance et, généralement, on ne peut plus rien affirmer du tout au sujet de la probabilité d’un phénomène.

Il arrive souvent qu’au lieu de déduire les effets des causes, on veuille déduire les causes des effets. Ce sont là les problèmes dits de probabilité des causes, les plus intéressants au point de vue de leurs applications scientifiques.

On définit la probabilité subjective, celle que nous donne l’intuition. Par habitude notre intuition apprend à s’habituer aux certaines phénomènes et les prédire, souvent moins précisément que la probabilité objective.

LA PROBABILITÉ DANS LES SCIENCES PHYSIQUES.

Chaque événement d’une expérience ayant une certaine probabilité, garde la même probabilité si on recommence l’expérience. Les expériences distinctes sont indépendantes entre-elles.

Pour entreprendre un calcul quelconque de probabilité, et même pour que ce calcul ait un sens, il faut admettre, comme point de départ, une hypothèse ou une convention qui comporte toujours un certain degré d’arbitraire. Dans le choix de cette convention, nous ne pouvons être guidés que par le principe de raison suffisante. Malheureusement, ce principe est bien vague et bien élastique et, il prend bien des formes différentes. La forme sous laquelle nous l’avons rencontré le plus souvent, c’est la croyance à la continuité, croyance qu’il serait difficile de justifier par un raisonnement apodictique, mais sans laquelle toute science serait impossible. Enfin, les problèmes où le calcul des probabilités peut être appliqué avec profit sont ceux où le résultat est indépendant de l’hypothèse faite au début, pourvu seulement que cette hypothèse satisfasse à la condition de continuité.

CHAPITRE XII 

L’OPTIQUE ET L’ÉLECTRICITÉ

Les théories mathématiques n’ont pas pour objet de nous révéler la véritable nature des choses ; ce serait là une prétention déraisonnable. Leur but unique est de coordonner les lois physiques que l’expérience nous fait connaître, mais que sans le secours des mathématiques nous ne pourrions même énoncer.

En comparant un esprit qui a vécu une éducation française et un dont l’éducation était anglaise, on constate des différences de méthode ; le français n’accepte que l’exactitude et la précision logique ; alors que le savant anglais ne cherche pas à construire un édifice unique, définitif et bien ordonné, il semble plutôt qu’il élève un grand nombre de constructions provisoires et indépendantes, entre lesquelles les communications sont difficiles et quelquefois impossibles.

Ainsi quand l’anglais Maxwell a écrit ses théories en l’électromagnétisme, il n’a pas relié les idées entre eux à former une unité, une idée générale ; pourtant ses théories montrent que l’optique n’est en fait qu’un cas particulier de l’électromagnétisme, il ne donne pas une explication mécanique.

On peut exprimer l’énergie potentielle U et l’énergie cinétique T en termes d’un paramètre q qu’on peut trouver expérimentalement, U ne dépend que de q alors que T dépend de q et de sa dérivée première. Ainsi on peut choisir arbitrairement les grandeurs exprimées par q et sa dérivée, mais il suffit qu’on puisse le faire de façon à rester d’accord avec le principe de moindre action pour qu’une explication mécanique soit possible.

Quand dirons-nous alors que nous avons une explication mécanique complète du phénomène ? Ce sera d’une part quand nous connaîtrons les équations différentielles auxquelles satisfont les coordonnées, équations qui d’ailleurs devront être conformes aux principes de la dynamique (principe de conservation d’énergie et principe de moindre action) ; et d’autre part quand nous connaîtrons les relations qui définissent les coordonnées en fonctions de certains paramètres q, accessibles à l’expérience.

Le principe de moindre action étant une condition nécessaire, conduit au principe de conservation d’énergie (la somme des énergies est constante), puisque le chemin le plus court est unique et constant ; ce qui fait que ce principe est aussi une condition suffisante.

Alors Maxwell s’est demandé s’il pouvait faire ce choix et celui des deux énergies T et U, de façon que les phénomènes électriques satisfassent à ce principe. L’expérience nous montre que l’énergie d’un champ électromagnétique se décompose en deux parties, l’énergie électrostatique et l’énergie électrodynamique. Maxwell a reconnu que si l’on regarde la première comme représentant l’énergie potentielle U, la seconde comme représentant l’énergie cinétique T ; si, d’autre part, les charges électrostatiques des conducteurs sont considérées comme des paramètres q et les intensités de courants comme les dérivées d’autres paramètres q ; dans ces conditions, dis-je, Maxwell a reconnu que les phénomènes électriques satisfont au principe de moindre action. Il était certain, dès lors, de la possibilité d’une explication mécanique.

En fait, si on ne peut pas satisfaire au principe de moindre action, il n’y a pas d’explication mécanique possible ; si on y peut satisfaire, il y en a non seulement une, mais une infinité, d’où il résulte que dès qu’il y en a une, il y en a une infinité d’autres.

Pour démontrer la possibilité d’une explication mécanique de l’électricité, nous n’avons pas à nous préoccuper de trouver cette explication elle-même, il nous suffit de connaître l’expression des deux fonctions T et U, qui sont les deux parties de l’énergie, de former avec ces deux fonctions les équations de Lagrange et de comparer ensuite ces équations avec les lois expérimentales.

CHAPITRE XIII 

L’ÉLECTRODYNAMIQUE

Ce dernier chapitre est plus technique, il a traité l’évolution de l’électrodynamique d’Ampère à Maxwell (sans rentrer dans les détails):

Hypothèse d’Ampère : l’action mutuelle de deux éléments de courant se ramène à une force dirigée suivant la droite qui les joint.

Hypothèse  d’Helmholtz : deux éléments de courant admettent toujours un potentiel électrodynamique, dépendant uniquement de leur position et de leur orientation, et le travail des forces qu’ils exercent l’un sur l’autre est égal à la variation de ce potentiel.

Maxwell : il n’y a plus de courants ouverts, le courant de déplacement dans un diélectrique ferme le circuit (remplace le courant de convection).

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